ProbabilityIntroduction
Les probabilités et les probabilités sont partout autour de nous, des prévisions météorologiques aux jeux, aux enquêtes d'assurance ou aux élections. Cependant, dans l'histoire des mathématiques, la probabilité, c'est en fait une idée très récente. Alors que la géométrie et l'algèbre ont été étudiés par des mathématiciens grecs anciens il y a plus de 2500 ans, les concepts de probabilité ne sont apparus qu'au 17ème et 18ème siècle.
Selon la légende, deux des plus grands mathématiciens,
Pour distraire les théories mathématiques difficiles qu'ils discutent, ils jouent souvent un jeu simple: ils jettent à plusieurs reprises une pièce de monnaie - chaque tête était un point pour Pascal et chaque queue était un point pour Fermat. Celui qui avait plus de points après trois pièces de monnaie a dû payer la facture.
Un jour, cependant, ils sont interrompus après le premier jeton de pièces et Fermat doit partir de façon urgente. Plus tard, ils se demandent qui devrait payer la facture, ou s'il existe un moyen juste de le diviser. La première pièce a atterri les têtes (un point pour Pascal), alors peut-être que Fermat devrait tout payer. Cependant, il est peu probable que Fermat ait pu encore gagner si
Pascal et Fermat ont décidé d'écrire toutes les manières possibles dont le jeu aurait pu continuer:
Pascal gagne
Pascal gagne
Pascal gagne
Fermat gagne
Les quatre résultats possibles sont également probables, et Pascal gagne en
Pascal et Fermat ont découvert la première équation importante de probabilité: si une expérience a plusieurs résultats possibles qui sont tout aussi probables, alors
Probabilité d'un événement =
Dans notre exemple, la probabilité que Pascal remporte le jeu soit
Quelles sont les probabilités
Une probabilité est un nombre entre 0 et 1 qui décrit la probabilité d'un certain événement . Une probabilité de 0 signifie que quelque chose est impossible ; une probabilité de 1 signifie que quelque chose est certain .
Par exemple, c'est
La probabilité de rouler un 6 sur un morceau, ou de choisir un costume particulier dans un jeu de cartes est
Voici d'autres événements: faites-les passer dans l'ordre correct, de probablement à peu probable:
vivre sur le pôle Nord.
en novembre.
.
.Nous utilisons souvent des probabilités et des probabilités dans la vie quotidienne, habituellement sans y penser. Quelle est la chance de la pluie demain? Quelle est la probabilité que je manquerais le bus? Quelle est la probabilité que je vais gagner ce jeu?
Lancer une pièce (juste) a deux résultats possibles, les têtes et les queues , qui sont tous deux également probables. Selon l'équation ci - dessus, la probabilité d'un atterrissage de pièces de monnaie têtes doit être
Notez que cette probabilité est comprise entre 0 et 1, même si seul un des résultats peut se produire réellement. Mais les probabilités ont très peu à voir avec les résultats réels: si nous jetons une pièce plusieurs fois, nous savons que
Même les événements avec de petites probabilités (comme gagner la loterie ) peuvent encore se produire - et ils se produisent tout le temps (mais à une très faible proportion des personnes qui participent).
Les probabilités dépendent également de la quantité de chacun d'entre nous qui connait l'événement. Par exemple, vous pourriez estimer que la chance de pluie aujourd'hui est d'environ 70%, alors qu'un météorologue avec des données météorologiques détaillées pourrait dire que la probabilité de pluie est de 64,2%.
Ou supposons que je lance une pièce et que je la cache avec mes mains - la probabilité de queue est de 50%. Maintenant, je regarde le résultat, mais ne vous le dites pas. Je sais avec certitude ce qui s'est passé, mais pour vous, la probabilité est
Il existe de nombreuses façons différentes de penser aux probabilités, mais dans la pratique, elles donnent souvent les mêmes résultats:
La probabilité classique des têtes d'atterrissage est la proportion des résultats possibles qui sont des têtes
La probabilité de fréquentation est la proportion de têtes que nous obtenons si nous jetons la pièce plusieurs fois.
La probabilité subjectiviste nous indique combien nous croyons que la pièce va atterrir les têtes.
Rappelez-vous que si les probabilités sont excellentes pour l' estimation et la prévision , nous ne pouvons jamais dire ce qui se passera réellement .
Voyons maintenant quelques applications amusantes de probabilité.
Analyse de la roulette
Peu de temps après leur découverte initiale, les mathématiciens ont commencé à appliquer les lois de la probabilité à plusieurs parties de la vie - y compris les jeux de casino.
L'un de ces mathématiciens était
La roulette se compose d'une roue avec les chiffres de 1 à 36 de couleur rouge et noir, ainsi qu'un vert 0. Une balle roule autour de l'extérieur et attire de manière aléatoire sur l'un des nombres. Les joueurs peuvent parier sur un seul numéro, un ensemble de nombres multiples ou simplement une couleur. Leur gain potentiel dépend de la probabilité de chacun de ces résultats.
Voici l'un des nombreux centaines d'extraits de journaux que Pearson a recueillis et analysés. À première vue, il semble assez aléatoire:
Résultats de la roulette le 19 août 1823, tableau 5:
Une roue de roulette a le même nombre de nombres rouges et noirs. Si nous ignorons le vert 0 (ce qui signifie que le casino gagne), nous nous attendons à ce que le nombre de numéros rouges et noirs soit
Cela semble assez réparti - il y a une petite différence entre le nombre de résultats rouges et noirs, mais on s'attend à ce qu'il soit probable.
Cependant, Pearson ne s'est pas arrêté ici. Il s'est rendu compte que si les résultats étaient complètement aléatoires, chacune des quatre paires possibles de deux couleurs consécutives devrait également être également probable. Encore une fois, nous pouvons compter le nombre d'occurrences dans notre exemple:
Pour certaines raisons, il semble que RR et NN se produire beaucoup
Il devient encore pire si on regarde les résultats triples. Chacun des 8 triples possibles de couleurs devrait être tout aussi probable, mais ce n'est clairement pas le cas ici:
Il semble que dans ce casino particulier, les couleurs changent beaucoup plus souvent que l'on s'attendrait. Il n'y a guère de séquences longues de même couleur (RRR or NNN).
Pearson a calculé que la probabilité de voir des résultats qui étaient faussés était inférieure à 1 sur 100 000 000! Il a supposé que les roues de la Roulette étaient truquées pour créer des bénéfices plus élevés pour le Casino - et ont écrit de nombreuses lettres en colère pour exposer cette arnaque.
Quand il a finalement voyagé à Monte-Carlo, il a découvert que la raison pour laquelle les résultats atypiques était d'une nature très différente: les journalistes qui devaient enregistrer les résultats étaient plutôt assis à la barre du casino, buvant et se maquillaient couleurs aléatoires…
Cette histoire montre que nous, les humains, avons tendance à être assez mauvais pour avoir des données aléatoires: nous sous-estimons souvent des événements peu probables (longues séquences de même couleur) et surestimons les probables (couleurs alternées). Cela peut être utilisé efficacement pour détecter la fraude dans les banques et les assurances.
Ici, vous pouvez essayer vous-même si vous êtes mieux que les journalistes: notez une séquence de Rs et Ns, et découvrez comment c'est vraiment aléatoire:
Score de l'aléatoire: 100/100
Battre le croupier
Bien que Pearson ait seulement analysé les résultats précédents de la Roulette, d'autres ont essayé d'utiliser les mathématiques pour augmenter leurs chances de gagner dans les casinos. L'un d'entre eux était
Il a ensuite tourné son attention vers la Roulette: en croyant que, si vous connaissiez la position exacte et la vitesse de la balle dans une roue de Roulette, vous devriez pouvoir utiliser la Physique pour prédire approximativement le résultat. Une fois que le concessionnaire a configuré la roulette de roulette, il n'y a que quelques secondes lorsque vous êtes encore autorisé à placer de nouveaux paris. Malheureusement, cette fois-ci est trop court pour que les humains puissent calculer le résultat dans leur tête.
Au Massachusetts Institute of Technology, Thorp a discuté de ses idées avec
L'ordinateur était à peu près la taille d'un paquet de cigarettes et était serré autour de leur taille. Un ensemble de fils a couru jusqu'à leur chaussure, qu'ils ont tapoté chaque fois que la balle a franchi un certain marqueur sur la roulette. Cela a permis à l'ordinateur de calculer sa vitesse et de prédire où cela finirait. Un autre ensemble de fils a conduit de l'ordinateur à un écouteur, qui a produit des tonalités différentes basées sur des résultats différents.
Au cours de l'été 1961, Thorp et Shannon ont essayé avec succès leur ordinateur à Las Vegas. Mais alors qu'ils gagnaient de l'argent, l'ordinateur - qui contenait même des pièces de modèles d'avions - n'était pas assez robuste pour être utilisé à plus grande échelle.
Thorp a écrit sur leurs résultats dans un article scientifique, et bien sûr, les ordinateurs ont été interdits plus tard dans les casinos. Thorp a même été banni de tous les casinos à Las Vegas, mais à ce moment-là, il avait déjà progressé dans des projets encore plus rentables: l'utilisation de mathématiques et d'ordinateurs sur le marché boursier.
Après ce court voyage à travers l'histoire, revenons à quelques mathématiques réelles…
Arbres de probabilité
Dans la vie réelle, les pièces n'ont jamais une probabilité de 0.5. Il pourrait être de 0.4932 ou 0.500012, en fonction de leur forme exacte ou de leurs propriétés physiques. En mathématiques, nous ne devons pas nous soucier de ces minuscules inexactitudes: on peut simplement supposer que notre «modèle mathématique» d'une pièce a une probabilité exacte de tête de débarquement de 0,5 et est vraiment aléatoire. Avec cette simplification, nous pouvons commencer à répondre à des questions beaucoup plus intéressantes.
Plus à venir bientôt…
Arbres de probabilité
Plus à venir bientôt…
Diagrammes de Venn
Plus à venir bientôt…
Prévoir l'avenir
Si nous roulons deux dés à la fois et ajoutons leurs scores, nous pourrions obtenir des résultats
Ce tableau présente tous les résultats possibles:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
12 |
Le résultat le plus probable lors du laminage de deux dés est 7. Il y a
Les résultats les moins probables sont 2 et 12, chacun ayant une probabilité de
Il est impossible de prévoir le résultat d'une seule pièce de monnaie ou de mourir. Cependant, en utilisant la probabilité, nous pouvons prédire très précisément le résultat de beaucoup dé.
Si nous lançons un mort 30 fois, nous savons que nous nous occuperons
Dans cette animation, vous pouvez générer plusieurs dés "virtuels" à la fois et voir comment les résultats se comparent aux probabilités prédites:
dés roulement
Nous roulons
Notez comment, en roulant de plus en plus de dés, les fréquences observées sont de plus en plus proches des fréquences que nous avons prédites en utilisant la théorie des probabilités. Ce principe s'applique à toutes les expériences de probabilité et s'appelle le Loi de grand nombre.
Monty Hall
Bienvenue dans le spectacle de spectacle le plus spectaculaire de la planète! Vous avez maintenant une chance unique de gagner une voiture de sport fantastique cachée derrière une de ces trois portes. Malheureusement, il n'y a que des chèvres derrière les deux autres portes. Tapez simplement sur un pour faire votre choix!
Êtes-vous sûr de cela? Vous pouvez toujours changer d'avis en tapotant une porte différente…
Un excellent choix, mais permettez-moi de vous rendre la vie un peu plus facile. J'ouvrirai l'une des autres portes avec une chèvre, de sorte qu'il ne vous reste plus que deux portes. Voulez-vous rester avec votre choix, ou voulez-vous échanger?
Ok - voyons comment vous avez fait…
On a l'impression d'échanger des portes était un bon choix. Félicitations, vous venez de gagner une belle nouvelle voiture de sport!
Désolé - il semble que le temps que vous avez gagné une chèvre. Mais ne vous inquiétez pas, vous pouvez jouer à nouveau!
Si vous jouez à ce jeu à plusieurs reprises, vous remarquerez que vous êtes plus susceptibles de gagner si vous
Mais comment peut-être que cette voiture est également susceptible d'être derrière chacune des deux portes restantes?
L'explication est très subtile. Lorsque vous choisissez la porte initiale, la probabilité d'être correcte est
Une fois que le maître du jeu ouvre une des autres portes, la probabilité d'être faux est encore
Même si cela ne semble pas très intuitif, nous pouvons prouver qu'il est correct - simplement en énumérant toutes les différentes possibilités:
Sur les 9 possibilités
Atteinte réelle
La plupart de ce chapitre dépendait du fait que des choses comme des pièces de monnaie, des dés ou des roues de roulette sont complètement aléatoires. Cependant, ce n'est pas vraiment vrai - nous avons déjà appris qu'Edward Thorpe a réussi à prédire le résultat de la roulette.
Supposons que nous jetons une pièce de monnaie: la chance de les têtes d'atterissage est de 0,5. Si nous savions de quelle manière la pièce était confrontée juste avant de laisser la main, nous pourrions être en mesure de faire une prédiction légèrement meilleure, comme 0,58 ou 0,41. Si nous savions aussi le poids et la taille de la pièce et l'angle, la position et la vitesse à mesure qu'elle laissait la main, nous pouvions utiliser les lois de la physique - gravité, frottement et résistance à l'air - pour modéliser le mouvement de la pièce et prédire le résultat. Enfin, si nous connaissions la position exacte de chaque atome dans la pièce et de toutes les molécules d'air qui l'entouraient, nous pourrions créer une simulation par ordinateur pour prédire avec précision ce qui se passera.
On pourrait soutenir que lancer une pièce n'est vraiment pas aléatoire du tout - c'est chaotique. Cela signifie que les principes physiques sous-jacents sont si complexes que même des changements mineurs aux conditions de départ (vitesse, angle) peuvent avoir un effet dramatique sur le résultat final. Nous pouvons utiliser des pièces de monnaie dans les jeux et les jeux de hasard non pas parce qu'ils sont aléatoires, mais parce qu'il est si incroyablement difficile (et à des fins pratiques impossible) de prédire le résultat.
Le même principe s'applique à de nombreux autres événements «aléatoires» dans la vie, y compris les roues à dés et à la roulette. Ils ne sont pas vraiment au hasard, nous n'avons tout simplement pas les outils nécessaires pour effectuer les calculs mathématiques suffisamment précis pour prédire le résultat.
Mais le hasard réel existe - sur les fondements mêmes de la matière. Un bloc de matière radioactive se compose de millions d'atomes qui se décomposent au fil du temps: ils s'effondrent en atomes plus petits tout en émettant des rayonnements dangereux.
Les physiciens connaissent la probabilité qu'un tonneau particulier se décompose en un certain laps de temps. En fait, pour un grand bloc de matières radioactives, le taux global de désintégration est si stable qu'il est utilisé dans les horloges atomiques. Mais même en connaissant les propriétés exactes de chaque atome, il est impossible de déterminer lequel se décomposera ensuite - c'est complètement aléatoire.
Cette propriété incroyable est utilisée par Ordinateurs quantiques. Les ordinateurs classiques ne peuvent jamais faire un seul calcul à la fois. Les ordinateurs quantiques peuvent utiliser les propriétés des particules subatomiques pour effectuer de nombreux calculs en même temps, ce qui les rend significativement plus rapides.
Le monde folle des particules subatomiques
Nous ne pouvons pas vraiment comprendre ou expliquer la mécanique quantique - nous devons simplement accepter que c'est ce qui est prédit par la théorie mathématique et confirmé par des observations physiques. Les effets quantiques curieux n'ont jamais été observés sur de petites écailles de quelques atomes, et il n'est pas clair comment ils nous affectent dans la vie quotidienne. Mais c'est le seul effet connu dans la nature qui produit véritable aléatoire.